We are searching data for your request:
Upon completion, a link will appear to access the found materials.
Statistica matematică necesită uneori utilizarea teoriei de seturi. Legile lui De Morgan sunt două afirmații care descriu interacțiunile dintre diferite operații ale teoriei de seturi. Legile sunt acelea pentru orice două seturi A și B:
- (A ∩ B)C = AC U BC.
- (A U B)C = AC ∩ BC.
După ce vom explica ce înseamnă fiecare dintre aceste afirmații, vom analiza un exemplu al fiecăreia dintre acestea fiind utilizate.
Set operații teoretice
Pentru a înțelege ce spun Legile lui De Morgan, trebuie să amintim câteva definiții ale operațiilor teoriei de seturi. Mai exact, trebuie să știm despre unirea și intersecția a două seturi și complementul unui set.
Legile lui De Morgan se referă la interacțiunea uniunii, intersecției și complementului. Reamintim că:
- Intersecția seturilor A și B constă din toate elementele comune ambelor A și B. Intersecția este notată de A ∩ B.
- Unirea seturilor A și B constă din toate elementele care în oricare A sau B, inclusiv elementele din ambele seturi. Intersecția este notată de A U B.
- Complementul setului A constă din toate elementele care nu sunt elemente ale A. Acest complement este notat cu AC.
Acum că am reamintit aceste operațiuni elementare, vom vedea declarația Legilor lui De Morgan. Pentru fiecare pereche de seturi A și B noi avem:
- (A ∩ B)C = AC U BC
- (A U B)C = AC ∩ BC
Aceste două afirmații pot fi ilustrate prin utilizarea diagramelor Venn. După cum se vede mai jos, putem demonstra folosind un exemplu. Pentru a demonstra că aceste afirmații sunt adevărate, trebuie să le dovedim folosind definiții ale operațiilor din teoria seturilor.
Exemplu de legile lui De Morgan
De exemplu, luăm în considerare setul de numere reale de la 0 la 5. Scriem acest lucru în notația de intervale 0, 5. În cadrul acestui set avem A = 1, 3 și B = 2, 4. Mai mult, după aplicarea operațiunilor noastre elementare, avem:
- Complementul AC = 0, 1) U (3, 5
- Complementul BC = 0, 2) U (4, 5
- Uniunea A U B = 1, 4
- Intersecția A ∩ B = 2, 3
Începem prin calcularea uniriiAC U BC. Vedem că unirea lui 0, 1) U (3, 5 cu 0, 2) U (4, 5 este 0, 2) U (3, 5. Intersecția A ∩ B este 2, 3. Vedem că complementul acestui set 2, 3 este de asemenea 0, 2) U (3, 5. În acest fel am demonstrat că AC U BC = (A ∩ B)C.
Acum vedem intersecția 0, 1) U (3, 5 cu 0, 2) U (4, 5 este 0, 1) U (4, 5. De asemenea, vedem că complementul de la 1, 4 este de asemenea 0, 1) U (4, 5. În acest fel am demonstrat că AC ∩ BC = (A U B)C.
Denumirea legilor lui De Morgan
De-a lungul istoriei logicii, oameni precum Aristotel și William of Ockham au făcut declarații echivalente cu Legile lui De Morgan.
Legile lui De Morgan poartă numele lui Augustus De Morgan, care a trăit între 1806-1871. Deși nu a descoperit aceste legi, el a fost primul care a introdus aceste afirmații în mod formal folosind o formulare matematică în logica propozițională.
Ce frază necesară... ideea fenomenală, magnifică
Ce cuvinte... frază super, genială
Este mai ușor să te lovești cu capul de perete decât să implementezi toate acestea în forma sa normală
Excuse, that I interfere, would like to offer other decision.
În subiectul meu foarte interesant. Vă sugerez să discutați acest lucru aici sau în PM.
Gând minunat, foarte amuzant
Între noi vorbind, aș ajunge altfel.